Question

【題目】設(shè)函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），， .

（1）若是的極值點(diǎn)，且直線分別與函數(shù)和的圖象交于，求兩點(diǎn)間的最短距離；

（2）若時(shí)，函數(shù)的圖象恒在的圖象上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1（2）

【解析】試題分析：

(1)利用題意討論的性質(zhì)可得求兩點(diǎn)間的最短距離為1

(2) 構(gòu)造函數(shù)，求解導(dǎo)函數(shù)后分類討論：

故時(shí)恒成立.當(dāng)時(shí)，不符合題意，

故符合條件的的取值范圍是.

試題解析：

（Ⅰ）因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>是的極值點(diǎn)，所以， .

又當(dāng)時(shí)，若， ，所以在上為增函數(shù)，所以，所以是的極小值點(diǎn)，所以符合題意，所以.令，即，因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)， ， ，所以，所以在上遞增，所以，∴時(shí)， 的最小值為，所以.

（Ⅱ）令，

則， ，因?yàn)?/span>當(dāng)時(shí)恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)恒成立；

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在時(shí)恒成立.

當(dāng)時(shí)， ， 在單調(diào)遞增，即.

故時(shí)恒成立.

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>在單調(diào)遞增，所以總存在，使在區(qū)間上，導(dǎo)致在區(qū)間上單調(diào)遞減，而，所以當(dāng)時(shí)， ，這與對(duì)恒成立矛盾，所以不符合題意，故符合條件的的取值范圍是.