Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是DD₁的中點．
（Ⅰ）求證：BD₁∥平面AMC；
（Ⅱ）求證：AC⊥BD₁；
（Ⅲ）在線段BB₁上是否存在點P，當

BP

BB1

=λ時，平面A₁PC₁∥平面AMC？若存在，求出λ的值并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：平面與平面平行的性質(zhì),空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連結(jié)BD交AC于N，連結(jié)MN．由此利用三角形中位線定理能證明BD₁∥平面AMC．
（Ⅱ）由正方形性質(zhì)得AC⊥BD，由線面垂直得DD₁⊥AC，由此能證明AC⊥BD₁．
（Ⅲ）當λ=

1

2

，平面A₁PC₁∥平面AMC．由已知條件推導(dǎo)出四邊形ABQM是平行四邊形，從而能證明平面A₁PC₁∥平面AMC．

解答： （本小題滿分14分）
（Ⅰ）證明：在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，連結(jié)BD交AC于N，連結(jié)MN．
因為ABCD為正方形，所以N為BD中點．…（1分）
在△DBD₁中，因為M為DD₁中點，
所以BD₁∥MN．…（2分）
因為MN?平面AMC，BD₁不包含于平面AMC，…（4分）
所以BD₁∥平面AMC．…（5分）
（Ⅱ）證明因為ABCD為正方形，
所以AC⊥BD．…（6分）
因為DD₁⊥平面ABCD，
所以DD₁⊥AC．…（7分）
因為DD₁∩BD=D，…（8分）
所以AC⊥平面BDD₁．…（9分）
因為BD₁?平面BDD₁，
所以AC⊥BD₁．…（10分）
（Ⅲ）解：當λ=

1

2

，即點P為線段BB₁的中點時，平面A₁PC₁∥平面AMC．…（11分）
因為AA₁∥CC₁，且AA₁=CC₁，
所以四邊形AA₁C₁C是平行四邊形．
所以AC∥A₁C₁．…（12分）
取CC₁的中點Q，連結(jié)MQ，QB．
因為M為DD₁中點，
所以MQ∥AB，且MQ=AB，
所以四邊形ABQM是平行四邊形．
所以BQ∥AM．…（13分）
同理BQ∥C₁P．
所以AM∥C₁P．
因為A₁C₁∩C₁P=C₁，AC∩AM=A，
所以平面A₁PC₁∥平面AMC．…（14分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查異面直線垂直的證明，考查滿足平面與平面平行的點是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．