【題目】下圖是一塊平行四邊形園地,經(jīng)測(cè)量,.擬過(guò)線段上一點(diǎn) 設(shè)計(jì)一條直路(點(diǎn)在四邊形的邊上,不計(jì)直路的寬度),將該園地分為面積之比為的左,右兩部分分別種植不同花卉.設(shè)(單位:m).
(1)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),試確定點(diǎn)的位置;
(2)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(3)試確定點(diǎn)的位置,使直路的長(zhǎng)度最短.
【答案】(1)是的中點(diǎn);(2);(3) 當(dāng),時(shí),最短,其長(zhǎng)度為.
【解析】
(1)由可知,從而證明是的中點(diǎn).
(2)求出平行四邊形的面積為,進(jìn)而可求,從而用 可將表示出來(lái),利用余弦定理即可得到關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.
(3)當(dāng) ,由二次函數(shù)的性質(zhì)可求最值;當(dāng)時(shí),由基本不等式可求最值.
解:(1)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),由題設(shè)知,.
于是,其中為平行四邊形邊上的高.
得,即點(diǎn)是的中點(diǎn).
(2)因?yàn)辄c(diǎn)在線段上,所以.當(dāng)時(shí),由(1)知
點(diǎn)在線段上.因?yàn)?/span>
所以.
由得,.所以中,由余弦定理得
.
當(dāng)時(shí),點(diǎn)在線段上,由
得.當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),
化簡(jiǎn)均為.
綜上,.
(3)當(dāng)時(shí),,
于是當(dāng)時(shí),,此時(shí).
當(dāng)時(shí),
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取等號(hào)
綜上: 當(dāng)距點(diǎn),距點(diǎn)時(shí),最短,其長(zhǎng)度為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求證在上是單調(diào)遞減函數(shù);
(2)若對(duì)任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一智能掃地機(jī)器人在A處發(fā)現(xiàn)位于它正西方向的B處和北偏東方向上的C處分別有需要清掃的垃圾,紅外線感應(yīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)機(jī)器人到B的距離比到C的距離少0.4m,于是選擇沿路線清掃.已知智能掃地機(jī)器人的直線行走速度為0.2m/s,忽略機(jī)器人吸入垃圾及在B處旋轉(zhuǎn)所用時(shí)間,10秒鐘完成了清掃任務(wù).
(1)B、C兩處垃圾的距離是多少?(精確到0.1)
(2)智能掃地機(jī)器人此次清掃行走路線的夾角是多少?(用反三角函數(shù)表示)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直四棱柱中,底面為菱形,且側(cè)棱 其中為的交點(diǎn).
(1)求點(diǎn)到平面的距離;
(2)在線段上,是否存在一個(gè)點(diǎn),使得直線與垂直?若存在,求出線段的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于函數(shù)定義已知偶函數(shù)的定義域?yàn)?/span>當(dāng)且時(shí),
(1)求并求出函數(shù)的解析式;
(2)若存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1 min后,再?gòu)?/span>B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)行的速度為130 m/min,山路AC長(zhǎng)為1260 m,經(jīng)測(cè)量,cos A=,cos C=
(1)求索道AB的長(zhǎng);
(2)問(wèn)乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了配合今年上海迪斯尼游園工作,某單位設(shè)計(jì)了統(tǒng)計(jì)人數(shù)的數(shù)學(xué)模型:以表示第個(gè)時(shí)刻進(jìn)入園區(qū)的人數(shù);以表示第個(gè)時(shí)刻離開(kāi)園區(qū)的人數(shù).設(shè)定以分鐘為一個(gè)計(jì)算單位,上午點(diǎn)分作為第個(gè)計(jì)算人數(shù)單位,即;點(diǎn)分作為第個(gè)計(jì)算單位,即;依次類推,把一天內(nèi)從上午點(diǎn)到晚上點(diǎn)分分成個(gè)計(jì)算單位(最后結(jié)果四舍五入,精確到整數(shù)).
(1)試計(jì)算當(dāng)天點(diǎn)至點(diǎn)這一小時(shí)內(nèi),進(jìn)入園區(qū)的游客人數(shù)、離開(kāi)園區(qū)的游客人數(shù)各為多少?
(2)假設(shè)當(dāng)日?qǐng)@區(qū)游客總?cè)藬?shù)達(dá)到或超過(guò)萬(wàn)時(shí),園區(qū)將采取限流措施.該單位借助該數(shù)學(xué)模型知曉當(dāng)天點(diǎn)(即)時(shí),園區(qū)總?cè)藬?shù)會(huì)達(dá)到最高,請(qǐng)問(wèn)當(dāng)日是否要采取限流措施?說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,其中,設(shè).
(1)如果為奇函數(shù),求實(shí)數(shù)、滿足的條件;
(2)在(1)的條件下,若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),求的取值范圍;
(3)若對(duì)任意的恒有成立.證明:當(dāng)時(shí),成立.
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