Question

2．給出下列命題：
①f（x）=$\sqrt{4-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-4}$既是奇函數(shù)．又是偶函數(shù)；
②f（x）=x和f（x）=$\frac{{x}^{2}}{x}$為同一函數(shù)；
③已知f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且f（x）在 （0，+∞）上單調(diào)遞增，則f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)；
④函數(shù)y=$\frac{1-3x}{1+x}$的值域?yàn)閧y|y∈R且y≠-3}．
其中正確命題的序號(hào)是①④．

Answer 1

分析 由函數(shù)的解析式分析出函數(shù)f（x）=$\sqrt{4-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-4}$的定義域，進(jìn)而得到函數(shù)的圖象，結(jié)合奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性，可判斷①的真假；
根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的定義域不一致，結(jié)合同函數(shù)的定義，可判斷②的真假；
舉出反例f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x＜0}\\{0，x=0}\\{x-1，x＞0}\end{array}\right.$，可以判斷③的真假；
函數(shù)y=$\frac{1-3x}{1+x}$=-3+$\frac{4}{1+x}$≠-3，可判斷④的真假．

解答 解：①f（x）=$\sqrt{4-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-4}$的定義域?yàn)閧-2，2}，其圖象是點(diǎn)（-2，0）和（2，0），即關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱也關(guān)于y軸對(duì)稱，故f（x）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，即①正確；
②f（x）=x的定義域?yàn)镽，f（x）=$\frac{{x}^{2}}{x}$的定義域?yàn)閧x|x≠0}，故兩者不為同一函數(shù)，故②錯(cuò)誤；
③已知f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且f（x）在 （0，+∞）上單調(diào)遞增，在 （-∞，0）上單調(diào)遞增，但f（x）在（-∞，+∞）上不一定為增函數(shù)，比如f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x＜0}\\{0，x=0}\\{x-1，x＞0}\end{array}\right.$，錯(cuò)誤；
④函數(shù)y=$\frac{1-3x}{1+x}$=-3+$\frac{4}{1+x}$≠-3值域?yàn)閧y|y∈R且y≠-3}，正確．
故答案為：①④

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷為載體考查了函數(shù)的奇偶性，同一函數(shù)的定義，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的值域等，其中③的求解難度稍大．