Question

用3米長(zhǎng)的繩索圍一個(gè)三角形，怎樣圍可以使這個(gè)三角形的面積最大？（限用導(dǎo)數(shù)法）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：可知當(dāng)?shù)走呉欢�，另兩邊和是定值時(shí)，則這兩邊相等，即為等腰三角形時(shí)三角形面積最大，設(shè)底邊長(zhǎng)為x米，則另兩邊長(zhǎng)為

3-x

2

米，

3-x

2

米，高為

( 3-x 2 )2-( x 2 )2

=

9-6x

2

米，面積S=

1

2

×

x 9-6x

2

=

x 9-6x

4

，兩邊平方后利用導(dǎo)數(shù)可求得最值．

解答： 解：當(dāng)?shù)走呉欢�，另兩邊和是定值時(shí)，則這兩邊相等，即為等腰三角形時(shí)三角形面積最大，
∴設(shè)底邊長(zhǎng)為x米，則另兩邊長(zhǎng)為

3-x

2

米，

3-x

2

米，高為

( 3-x 2 )2-( x 2 )2

=

9-6x

2

米，
面積S=

1

2

×

x 9-6x

2

=

x 9-6x

4

，
4S²=x²（9-6x）=-6x³+9x²，y′=-18x²+18x，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)y′＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，y′＜0，
∴x=1時(shí)4S²取得極大值，也為最大值，4S²≤3，
S≤

3

2

，
∴當(dāng)三角形是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形時(shí)，面積最大為

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，在實(shí)際問題中正確建立函數(shù)模型是解題關(guān)鍵所在．