Question

已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，邊長(zhǎng)為4，PB=PD=5，PC=

41

，求證：PA⊥平面ABCD．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：先根據(jù)余弦定理求得cos∠PCO，進(jìn)而根據(jù)此角的余弦求得PA，最后由勾股定理證明出PA⊥AB，PA⊥AD，利用線面垂直的判定定理即可證明出PA⊥平面ABCD．

解答：
證明：連接AC，BD相交于O，連接PO，
∵PB=PD，O為BD中點(diǎn)
∴PO⊥BD，
∵底面ABCD為正方形，邊長(zhǎng)為4，
∴BD=4

2

，
∴PO=

PD2-OD2

=

25-8

=

17

，
在△POC中，由余弦定理知cos∠PCO=

PC2+OC2-OP2

2PC•OC

=

41+8-17

2× 41 ×2 2

=

8

82

，
在△PCA中，由余弦定理知PA=PC²+AC²-2•PC•AC•cos∠PCO═41+32-2×

41

×4

2

×

8

82

=3，
∴PA²+AB²=PB²，
∴∠PAB=90°，即PA⊥AB，
同理可證PA⊥AD，
∵AD?平面ABCD，AB?平面ABCD，AB∩AD=A，
∴PA⊥平面ABCD．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面垂直的判定定理的應(yīng)用．解題過(guò)程中最重要的一步是求出PA的值．