Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸上，離心率e=

3

2

，點(diǎn)Q(

2

，

2

2

)在橢圓C上．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若斜率為k（k≠0）的直線n交橢圓C與A、B兩點(diǎn)，且k_OA、k、k_OB成等差數(shù)列，點(diǎn)M（1，1），求S_△ABM的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出橢圓方程，根據(jù)橢圓離心率e=

3

2

，點(diǎn)Q(

2

，

2

2

)在橢圓C上，建立方程組，求解a²，b²，則橢圓的方程可求；
（2）確定直線n的方程為y=kx，代入橢圓方程，借助于弦長(zhǎng)公式求出|AB|的長(zhǎng)度，由點(diǎn)到直線的距離公式求出M到直線y=kx的距離，寫出三角形AOB的面積后轉(zhuǎn)化為含有k的代數(shù)式，利用導(dǎo)數(shù)法求最值．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則
∵橢圓離心率e=

3

2

，點(diǎn)Q(

2

，

2

2

)在橢圓C上，
∴

a2-b2 a = 3 2 2 a2 + 1 2b2 =1

，
解得a=2，b=1，
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1；
（2）設(shè)直線n的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），（x₂，y₂），則
∵k_OA、k、k_OB成等差數(shù)列，
∴m（x₁+x₂）=0，
∴m=0，
∴直線n的方程為y=kx
代入橢圓方程得（1+4k²）x²=4，
∴|AB|=

4 1+k2

1+4k2

．
∵M(jìn)到y(tǒng)=kx的距離為d=

|k-1|

k2+1

∴S=

1

2

4 1+k2

1+4k2

•

|k-1|

k2+1

=

2|k-1|

1+4k2

∴S²=

4(k-1)2

1+4k2

，
∴（S²）′=

8(k-1)(4k+1)

(1+4k2)2

，
∴k＜-

1

4

，（S²）′＞0，-

1

4

＜k＜1，（S²）′＜0，k＞1，（S²）′＞0，
∴k=-

1

4

時(shí)，S取得最大值

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查弦長(zhǎng)問題、最值問題．屬難題．