Question

已知函數(shù)f（x）=2^x-1的反函數(shù)為y=f^-1（x），記g（x）=f^-1（x-1）．
（1）求函數(shù)y=2f^-1（x）-g（x）的最小值；
（2）若函數(shù)F（x）=2f^-1（x+m）-g（x）在區(qū)間[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的反函數(shù)，然后推出函數(shù)y=2f^-1（x）-g（x）的表達(dá)式，即可求解其最小值；
（2）利用（1）函數(shù)的解析式，通過化簡表達(dá)式，利用函數(shù)F（x）=2f^-1（x+m）-g（x）在區(qū)間[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，轉(zhuǎn)化不等式，然后求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）由f（x）=2^x-1得x=log₂（y+1），即f^-1（x）=log₂（x+1）（x＞-1）
g（x）=f^-1（x-1）=log₂x，（x＞0）
∴函數(shù)y=2f^-1（x）-g（x）=2log₂（x+1）-log₂x=log2

(x+1)2

x

=log2

x2+2x+1

x

=log2(x+

1

x

+2)，
∵x＞0，∴x+

1

x

+2≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，
∴函數(shù)y=2f^-1（x）-g（x）的最小值為：log₂4=2．
（2）由f^-1（x）=log₂（x+1）（x＞-1）得，
函數(shù)F（x）=2f^-1（x+m）-g（x）=2log₂（x+m+1）-log₂x…（8分）
∴F（x）=log2

(x+m+1)2

x

=log2[x+

(m+1)2

x

+2(m+1)]，
在區(qū)間[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)需滿足：當(dāng)x≥1時(shí)，x+m+1＞0，即m＞-2…（10分）
[|m+1|，+∞）⊆[1，+∞）…（12分），
即|m+1|≤1?-2≤m≤0，…（13分），
∴-2＜m≤0…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問題，反函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及分析問題解決問題的能力．