已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),過橢圓C的右焦點F的直線l交橢圓于A,B兩點,交y軸于P點,設(shè)
PA
=m
AF
,
PB
=n
BF
,(m,n∈R).已知橢圓C上的點到焦點F的最大值與最小值的比值為3+2
2

(1)求橢圓的離心率;
(2)求證:m+n為定值.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1)由已知條件推導(dǎo)出
a+c
a-c
=3+2
2
,由此能求出橢圓的離心率.
(2)由 (1)得a2=2c2,b2=c2,設(shè)橢圓方程為
x2
2c2
+
y2
c2
=1
,直線方程為:y=k(x-c),由
x2
2c2
+
y2
c2
=1
y=k(x-c)
,得(2k2+1)x2-4k2cx+2k2c-2c2=0,由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能證明m+n為定值.
解答: (1)解:∵橢圓C上的點到焦點F的最大值與最小值的比值為3+2
2
,
a+c
a-c
=3+2
2
,
1+e
1-e
=3+2
2
,
解得e=
2
2
,
∴橢圓的離心率為
2
2

(2)證明:由 (1)得a2=2c2,b2=c2
設(shè)橢圓方程為
x2
2c2
+
y2
c2
=1

直線方程為:y=k(x-c),A(x1,y1),B(x2,y2
x2
2c2
+
y2
c2
=1
y=k(x-c)
,得(2k2+1)x2-4k2cx+2k2c-2c2=0,
x1+x2=
4k2c
2k2+1
,x1x2=
2k2c2-2c2
2k2+1
,
又點P(0,-kc),
PA
=m
AF
,
PB
=n
BF
,(m,n∈R)

m=
x1
c-x1
,n=
x2
c-x2
,
∴m+n=
x1
c-x1
+
x2
c-x2
=
c(x1+x2)-2x1x2
c2-c(x1+x2)+x1x2
=-4

∴m+n為定值-4.
點評:本題考查橢圓的離心率的求法,考查兩數(shù)和為定值的證明,解題時要認(rèn)真審題,注意函數(shù)與方程思想的合理運用.
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復(fù)數(shù)
5i
1+2i
的虛部是( 。
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A、
1
10
B、
1
7
C、
1
5
D、
1
3

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1
x
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2
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角α 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
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sinα
cosα
tanα

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π
4
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