Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，交y軸于P點(diǎn)，設(shè)

PA

=m

AF

，

PB

=n

BF

，（m，n∈R）．已知橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F的最大值與最小值的比值為3+2

2

．
（1）求橢圓的離心率；
（2）求證：m+n為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

a+c

a-c

=3+2

2

，由此能求出橢圓的離心率．
（2）由 （1）得a²=2c²，b²=c²，設(shè)橢圓方程為

x2

2c2

+

y2

c2

=1，直線方程為：y=k（x-c），由

x2 2c2 + y2 c2 =1 y=k(x-c)

，得（2k²+1）x²-4k²cx+2k²c-2c²=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能證明m+n為定值．

解答： （1）解：∵橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F的最大值與最小值的比值為3+2

2

，
∴

a+c

a-c

=3+2

2

，
∴

1+e

1-e

=3+2

2

，
解得e=

2

2

，
∴橢圓的離心率為

2

2

．
（2）證明：由 （1）得a²=2c²，b²=c²，
設(shè)橢圓方程為

x2

2c2

+

y2

c2

=1，
直線方程為：y=k（x-c），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

x2 2c2 + y2 c2 =1 y=k(x-c)

，得（2k²+1）x²-4k²cx+2k²c-2c²=0，
∴x1+x2=

4k2c

2k2+1

，x1x2=

2k2c2-2c2

2k2+1

，
又點(diǎn)P（0，-kc），
由

PA

=m

AF

，

PB

=n

BF

，(m，n∈R)，
得m=

x1

c-x1

，n=

x2

c-x2

，
∴m+n=

x1

c-x1

+

x2

c-x2

=

c(x1+x2)-2x1x2

c2-c(x1+x2)+x1x2

=-4．
∴m+n為定值-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的離心率的求法，考查兩數(shù)和為定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．