Question

已知函數(shù)f（x）=2sinx+1，是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)y=（f（x）-1）²+2af（

π

2

-x）+

a

2

-6在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值是4？若存在，求出對應(yīng)的a的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的最值

專題：存在型,分類討論,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：假設(shè)存在實數(shù)a，然后應(yīng)用同角三角函數(shù)的關(guān)系式和誘導(dǎo)公式對函數(shù)解析式化簡整理，進而利用x的范圍確定cosx的范圍，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對a的范圍進行分類討論，求得函數(shù)的最大值，解出a，判斷是否存在．

解答： 解：假設(shè)存在實數(shù)a，使得函數(shù)y=（f（x）-1）²+2af（

π

2

-x）+

a

2

-6
在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值是4，
則y=4sin²x+2a（2sin（

π

2

-x）+1）+

a

2

-6
即y=4sin²x+4acosx+

5a

2

-6=-4（cos²x-acosx）+

5a

2

-2
=-4（cosx-

a

2

）²+a²+

5a

2

-2，
令cosx=t，則y=-4（t-

a

2

）²+a²+

5a

2

-2，
∵0≤x≤

π

2

，∴0≤cosx≤1，即0≤t≤1，
當(dāng)0≤

a

2

≤1時，即0≤a≤2，t=

a

2

時，y取最大值a²+

5a

2

-2，且為4，解得a=

3

2

或-4（舍去）；
當(dāng)

a

2

＞1時，即a＞2，t=1時，y取最大值

13a

2

-6，且為4，解得a=

20

13

，不符要求，舍去；
當(dāng)

a

2

＜0時，即a＜0，t=0時，y取最大值

5a

2

-2，且為4，解得a=

12

5

，不符要求，舍去．
故存在實數(shù)a，且為

3

2

，使得函數(shù)y=（f（x）-1）²+2af（

π

2

-x）+

a

2

-6在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值是4．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的最值問題，考查二次函數(shù)型的最值問題，是動軸定區(qū)間，注意對動軸的討論，同時考查三角函數(shù)的恒等變換應(yīng)用．