Question

【題目】已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)， （）為其對(duì)稱軸上一點(diǎn)，直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為．當(dāng)為拋物線的焦點(diǎn)且直線與其對(duì)稱軸垂直時(shí)， 的面積為18．

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）記，若值與點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，則稱此時(shí)的點(diǎn)為“穩(wěn)定點(diǎn)”，試求出所有“穩(wěn)定點(diǎn)”，若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）時(shí)， 與無(wú)關(guān).

【解析】試題分析：（1）由已知為通徑，因此，由可求得；（2）定點(diǎn)問(wèn)題處理，設(shè)，設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程，由韋達(dá)定理得，計(jì)算 ，按和分類后討論可得取特定值時(shí)與無(wú)關(guān)，即為穩(wěn)定點(diǎn)．

試題解析：（1）由題意， ，∴，

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）設(shè)，

設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，

∴， ，

由對(duì)稱性，不妨設(shè)，

①時(shí)，∵，∴同號(hào)，

又，

∴，

不論取何值， 均與有關(guān)，即， 不是“穩(wěn)定點(diǎn)”；

②時(shí)，∵，∴異號(hào)．

又，

∴，

∴僅當(dāng)，即時(shí)， 與無(wú)關(guān)，穩(wěn)定點(diǎn)為