Question

【題目】已知橢圓C：（）的左、右焦點分別為，，離心率，點在橢圓C上，直線l過交橢圓于A，B兩點.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）當時，點A在x軸上方時，求點A，B的坐標；

（3）若直線交y軸于點M，直線交y軸于點N，是否存在直線l，使得與的面積滿足，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）存在，或

【解析】

（1）由和點在橢圓上結合可求出橢圓的方程.
（2）設，，則，結合點A在橢圓上可求出A點坐標，然后可得直線AB的方程，再與橢圓聯(lián)立可求出B點坐標.
（3）設，，，，設直線l：，，.由建立關于 的方程從而求解.

解：（1）由題意可知，，，又，

聯(lián)立方程組可解得：，，

所以橢圓C的方程為.

（2）設，依題意，，，

，即，

，

又A在橢圓上，滿足，即，

，解得，即，

直線AB：，

聯(lián)立，解得.

（3）設，，，，

直線l：（斜率不存在時不滿足題意），

則，

.

聯(lián)立，得.

則，.

由直線的方程：，得M縱坐標.

由直線的方程：，得N縱坐標，

由，得.

所以，

，，

代入根與系數(shù)的關系式，得，解得.

存在直線或滿足題意.