Question

5．已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，S_n為其前n項和，對于任意的n∈N^*，S_n=2a_n-2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且b_n=$\frac{1}{（lo{g}_{2}{a}_{n}）^{2}}$，求證：對任意正整數(shù)n，總有T_n＜2．

Answer 1

分析 （I）對于任意的n∈N^*，S_n=2a_n-2，當n=1時，a₁=2a₁-2，解得a₁=2；當n≥2時，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（II）b_n=$\frac{1}{（lo{g}_{2}{a}_{n}）^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$，當n≥2時，$\frac{1}{{n}^{2}}$≤$\frac{1}{n（n+1）}$，利用“裂項求和”即可證明．

解答 （I）解：∵對于任意的n∈N^*，S_n=2a_n-2，
∴當n=1時，a₁=2a₁-2，解得a₁=2；
當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2，
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項為2，公比為2，
∴${a}_{n}={2}^{n}$．
（II）b_n=$\frac{1}{（lo{g}_{2}{a}_{n}）^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴T_n=$1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$≤1+$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=1+$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=2-$\frac{1}{n}$＜2．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推式、等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”與“放縮法”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．