Question

某校高三數(shù)學(xué)競賽初賽考試后，對90分以上（含90分）的成績進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示．若130～140分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為2人．
（Ⅰ）求90～140分之間的人數(shù)；
（Ⅱ）求這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)M及平均數(shù)N；
（Ⅲ）現(xiàn)根據(jù)初賽成績從第一組和第五組（從低分段到高分段依次為第一組、第二組、…、第五組）中共選出兩人，形成幫扶學(xué)習(xí)小組．若選出的兩人成績之差大于20，則稱這兩人為“黃金搭檔組”，試求選出的兩人為“黃金搭檔組”的概率．

Answer 1

考點：頻率分布直方圖,極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差,古典概型及其概率計算公式

專題：計算題,概率與統(tǒng)計

分析：（I）根據(jù)頻率=小矩形的面積=小矩形的高×組距，求得130～140分?jǐn)?shù)段的頻率，再根據(jù)在130～140分?jǐn)?shù)段的頻數(shù)為2，求得樣本容量；
（II）根據(jù)眾數(shù)是最高小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)，平均數(shù)是各個小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)乘以對應(yīng)小矩形的面積之和，計算可得答案；
（III）計算第一組與第五組的人數(shù)，利用列舉法寫出從這兩組中選出2人的所有基本事件，從中找出2人來自不同組的基本事件，利用基本事件個數(shù)比求得“黃金搭檔組”的概率．

解答： 解：（I）設(shè)90～140分之間的人數(shù)是n，
由130～140分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為2，頻率為0.005×10=0.05，
則0.05×10×n=2，得n=40，
∴樣本容量為40；
（II）由頻率分布直方圖知頻數(shù)最多的組為從左數(shù)第三組，∴眾數(shù)為M=115；
平均數(shù)N=95×0.1+105×0.25+115×0.45+125×0.15+135×0.05=113；
（III）依題意，第一組共有40×0.01×10=4人，記作A₁、A₂、A₃、A₄；
第五組共有2人，記作B₁、B₂，從第一組和第五組中任意選出兩人共有下列15種選法：{A₁，A₂}、{A₁，A₃}、{A₁，A₄}、{A₂，A₃}、{A₂，A₄}、{A₃，A₄}、{A₁，B₁}、{A₂，B₁}、{A₂，B₂}、{A₃，B₁}、{A₃，B₂}、{A₄，B₁}、{A₄，B₂}、{A₁，B₂}、{B₁，B₂}．
設(shè)事件A：選出的兩人為“黃金搭檔組”．若兩人成績之差大于20，則兩人分別來自于第一組和第五組，共有8種選法，故P（A）=

8

15

．

點評：本題考查了由頻率分布直方圖求特征數(shù)（眾數(shù)、平均數(shù)），考查了古典概型的概率計算，在頻率分布直方圖中頻率=

頻數(shù)

樣本容量

=小矩形的面積=小矩形的高×組距．