Question

【題目】如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱長都相等，AC∩BD=O，
A1C1∩B1D1=O1 ， 四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形．
（1）證明：O1O⊥底面ABCD；
（2）若∠CBA=60°，求二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱長都相等，

∴四邊形ABCD為菱形，

又∵AC∩BD=O，

故O為BD的中點(diǎn)，

同理O1也是B1D1的中點(diǎn)，

又∵四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形，

∴O1O∥CC1∥BB1且CC1⊥AC，BB1⊥BD，

∴OO1⊥AC，OO1⊥BD，

又∵AC∩BD=O，AC，BD平面ABCD，

∴O1O⊥底面ABCD；

（2）解：設(shè)四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱長均相等，所以四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

又∵O1O⊥底面ABCD，

∴OB，OC，OO1兩兩垂直，

如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OO1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立直角坐標(biāo)系O﹣xyz．

設(shè)AB=2，

∵∠CBA=60°，

∴OA=OC=1，OB=OD= ，

則O（0，0，0），B1（ ），C1（0，1，2）

易知， =（0，1，0）是平面BDD1B1的一個(gè)法向量，

設(shè) =（x，y，z）是平面OB1C1的一個(gè)法向量，則 ，即

取z=﹣ ，則x=2，y=2 ，所以 =（2，2 ，﹣ ）

設(shè)二面角C1﹣OB1﹣D的大小為θ，易知θ是銳角，于是：

cosθ=|cos＜ ， ＞|=| |= = ，

故二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值為 ．

【解析】（1）由已知中，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱長都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1 ， 四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形．可得O1O∥CC1∥BB1且CC1⊥AC，BB1⊥BD，進(jìn)而OO1⊥AC，OO1⊥BD，再由線面垂直的判定定理得到O1O⊥底面ABCD；（2）設(shè)四棱柱ABCD﹣A1B1C1span>D1的所有棱長均為2a，設(shè)AB為2，若∠CBA=60°，OA=OC=1，OB=OD= ，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OC，OO1為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BDD1B1和平面OB1C1的法向量，代入向量夾角公式，求出二面角的余弦值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．