Question

已知：a，b∈R⁺，n＞1，n∈N^*，求證：

an+bn

2

≥(

a+b

2

)n．

Answer 1

分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法，要證明當(dāng)當(dāng)n=2時(shí)，左邊=右邊，我們要先證明a，b∈R⁺，n＞1，n∈N^*時(shí)，不等式成立，先假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*，k＞1）時(shí)，不等式成立，進(jìn)而證明出當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立，即可得到對(duì)于a，b∈R⁺，n＞1，n∈N^*，不等式成立．

解答：證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，左邊-右邊=

a2+b2

2

-(

a+b

2

)2=(

a-b

2

)2≥0，不等式成立．（2分）
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*，k＞1）時(shí)，不等式成立，即

ak+bk

2

≥(

a+b

2

)k．（4分）
因?yàn)閍＞0，b＞0，k＞1，k∈N^*，
所以（a^k+1+b^k+1）-（a^kb+ab^k）=（a^k-b^k）（a-b）≥0，于是a^k+1+b^k+1≥a^kb+ab^k．（6分）
當(dāng)n=k+1時(shí)，(

a+b

2

)k+1=(

a+b

2

)k•

a+b

2

≤

ak+1+bk+1

2

•

a+b

2

=

ak+1+bk+1+akb+abk

4

≤

ak+1+bk+1+ak+1+bk+1

4

=

ak+1+bk+1

2

．
即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．（9分）
綜合（1），（2）知，對(duì)于a，b∈R⁺，n＞1，n∈N^*，不等式

an+bn

2

≥(

a+b

2

)n總成立（11分）．

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切自然數(shù)n都成立．