Question

10．設(shè)f（x）與g（x）是定義在同一區(qū)間[a，b]上的兩個(gè)函數(shù)，若對(duì)任意x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤10成立，則稱f（x）和g（x）在[a，b]上是“密切函數(shù)”，[a，b]稱為“密切區(qū)間”，若f（x）=x³-2x+7，g（x）=x+m在[2，3]上是“密切函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． [15，+∞）
• B． （-∞，19]
• C． （15，19）
• D． [15，19]

Answer 1

分析 根據(jù)“密切函數(shù)”的定義列出絕對(duì)值不等式|x³-2x+7-（x+m）|≤10，可得x³-3x-3≤m≤x³-3x+17在x∈[2，3]上成立，令F（x）=x³-3x-3，x∈[2，3]，G（x）=x³-3x+17，x∈[2，3]，從而轉(zhuǎn)化為F（x）_max≤m≤g（x）_min，可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：∵f（x）與g（x）在[a，b]上是“密切函數(shù)”，
則|f（x）-g（x）|≤10，即|x³-2x+7-（x+m）|≤10在[2，3]上成立，
化簡(jiǎn)得x³-3x-3≤m≤x³-3x+17在[2，3]上成立，
令F（x）=x³-3x-3，x∈[2，3]，
由F′（x）=3x²-3＞0在x∈[2，3]成立，可得F（x）在[2，3]上為增函數(shù)，
則F（x）_max=F（3）=15；
令G（x）=x³-3x+17，x∈[2，3]，
由G′（x）=3x²-3＞0在x∈[2，3]成立，可得G（x）在[2，3]上為增函數(shù)，
則G（x）_min=G（2）=19．
∴15≤m≤19．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查恒成立問(wèn)題，要求學(xué)生會(huì)根據(jù)題中新定義的概念列出不等式，然后求解解絕對(duì)值不等式，由不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，是中檔題．