Question

【題目】如圖，已知正四棱錐P﹣ABCD中，PA=AB=2，點(diǎn)M，N分別在PA，BD上，且 = ．
（1）求異面直線MN與PC所成角的大小；
（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，AB=PA=2．以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

， ， 方向分別是x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．

則A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（﹣1，1，0），D（﹣1，﹣1，0），…（2分）

設(shè)P（0，0，p），則 =（﹣1，1，p），又AP=2，

∴1+1+p2=4，∴p= ，

∵ = = =（ ），

=（ ），

∴ =（﹣1，1，﹣ ）， =（0， ，﹣ ），

設(shè)異面直線MN與PC所成角為θ，

則cosθ= = = ．

θ=30°，

∴異面直線MN與PC所成角為30°

（2）解： =（﹣1，1，﹣ ）， =（1，1，﹣ ）， =（ , ，﹣ ），

設(shè)平面PBC的法向量 =（x，y，z），

則 ，取z=1，得 =（0， ，1），

設(shè)平面PNC的法向量 =（a，b，c），

則 ，取c=1，得 =（ ，2 ，1），

設(shè)二面角N﹣PC﹣B的平面角為θ，

則cosθ= = = ．

∴二面角N﹣PC﹣B的余弦值為 ．

【解析】（1）設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，AB=PA=2．以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)， ， ， 方向分別是x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．利用向量法能求出異面直線MN與PC所成角．（2）求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N﹣PC﹣B的余弦值．