Question

9．已知函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-ax+a）在（3，+∞）上是減函數(shù)，則a的取值范圍是（-∞，$\frac{9}{2}$]．

Answer 1

分析 函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，且外函數(shù)為減函數(shù)，只要內(nèi)函數(shù)一元二次函數(shù)在（3，+∞）上是增函數(shù)且在（3，+∞）上恒大于0即可，由此得到關(guān)于a的不等式求解．

解答 解：令t=x²-ax+a，
則原函數(shù)化為$g（t）=lo{g}_{\frac{1}{2}}t$，此函數(shù)為定義域內(nèi)的減函數(shù)．
要使函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-ax+a）在（3，+∞）上是減函數(shù)，
則內(nèi)函數(shù)t=x²-ax+a在（3，+∞）上是增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤3}\\{{3}^{2}-3a+a≥0}\end{array}\right.$，解得：a$≤\frac{9}{2}$．
∴a的取值范圍是（-∞，$\frac{9}{2}$]．
故答案為：（-∞，$\frac{9}{2}$]．

點評 本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合的兩個函數(shù)同增則增，同減則減，一增一減則減，注意對數(shù)函數(shù)的定義域是求解的前提，考查學生發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，是中檔題．