Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=xe^kx（k≠0）
（1）函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞增，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)$x=-\frac{1}{k}（{k≠0}）$，通過(guò)k＞0，k＜0，分別求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間以及單調(diào)減區(qū)間即可．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出k的取值范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）由f′（x）=（1+kx）e^kx=0，得$x=-\frac{1}{k}（{k≠0}）$，
若k＞0，則當(dāng)$x∈（{-∞，-\frac{1}{k}}）$時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)$x∈（{-\frac{1}{k}，+∞，}）$時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
若k＜0，則當(dāng)$x∈（{-∞，-\frac{1}{k}}）$時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)$x∈（{-\frac{1}{k}，+∞，}）$時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若k＞0，則當(dāng)且僅當(dāng)$-\frac{1}{k}≤-1$，
即0＜k≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞增；
若k＜0，則當(dāng)且僅當(dāng)$-\frac{1}{k}≥1$，即k≥-1時(shí)，函數(shù)f（x）在（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞增，
綜上可知，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，k的取值范圍是[-1，0）∪（0，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．