Question

8．如圖為一半徑是3米的水輪，水輪圓心O距離水面2米，開始旋轉時水輪上的點P在P₀位置，P₀距離水面3米，已知水輪每分鐘旋轉4圈，求點P到水面的距離y（米）與時間x（秒）的函數(shù)關系式．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設出水輪上的點P到水面的距離y（米）與時間t（秒）滿足的函數(shù)關系，求出對應的系數(shù)即可．

解答 解：根據(jù)題意，設水輪上的點P到水面的距離y（米）與時間t（秒）滿足的函數(shù)關系為
y=Asin（ωt+φ）+k（ω＞0，A＞0），
∵水輪的半徑為3，水輪圓心O距離水面2，
∴A=3，k=2；
又水輪每分鐘旋轉4圈，故轉一圈需要15秒，
∴T=15=$\frac{2π}{ω}$，
解得ω=$\frac{2π}{15}$；
當t=0時水輪上的點P在P₀位置，
∴3sinφ+2=3，∴sinφ=$\frac{1}{3}$，
解得φ=arcsin$\frac{1}{3}$；
∴P到水面的距離y（米）與時間x（秒）的函數(shù)關系式為
y=sin（$\frac{2π}{15}$t+arcsin$\frac{1}{3}$）+2．

點評 本題考查了三角函數(shù)模型的構建與應用問題，也考查了分析解決問題的能力，解題的關鍵是構建三角函數(shù)式，利用待定系數(shù)法求出解析式，是綜合性題目．