Question

18．已知函數f（x）=$\frac{{{5^x}-m+1}}{{{5^x}+1}}$為奇函數．
（1）求實數m的值；
（2）判斷函數的單調性，并用函數的單調性定義證明；
（3）求滿足-$\frac{2}{3}＜f（x-1）＜f（\frac{12}{13}）$的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數的定義，建立方程，即可求實數m的值；
（2）$f（x）=1-\frac{2}{{{5^x}+1}}$在R上為單調增函數，再利用函數的單調性定義證明；
（3）-$\frac{2}{3}＜f（x-1）＜f（\frac{12}{13}）$可化為f（-1）＜f（x-1）＜f（2），再結合單調性，求滿足-$\frac{2}{3}＜f（x-1）＜f（\frac{12}{13}）$的x的取值范圍．

解答 解：（1）因為f（x）是奇函數，所以$\frac{{{5^{-x}}-m+1}}{{{5^{-x}}+1}}=-（\frac{{{5^x}-m+1}}{{{5^x}+1}}）$對x∈R恒成立，
化簡得（（m-2）（5^x+1）=0，所以m=2…（4分）
（2）$f（x）=1-\frac{2}{{{5^x}+1}}$在R上為單調增函數，…（6分）
證明：任意取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則${5^{x_1}}＜{5^{x_2}}$，$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{2（{5^{x_1}}-{5^{x_2}}）}}{{（{5^{x_1}}+1）（{5^{x_2}}+1）}}＜0$
所以f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在R上為單調增函數．…（10分）
（3）因為$f（x）=1-\frac{2}{{{5^x}+1}}$，所以f（-1）=-$\frac{2}{3}$，
所以-$\frac{2}{3}＜f（x-1）＜f（\frac{12}{13}）$可化為f（-1）＜f（x-1）＜$\frac{12}{13}$…（14分）
因為f（x）在R上為單調增函數，
所以-1＜x-1＜$\frac{12}{13}$，所以0＜x＜$\frac{25}{13}$…（16分）

點評 本題考查了函數的奇偶性與單調性，考查了推理能力，屬于中檔題．