Question

如圖在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D、E是線段BC上的兩點(diǎn)，且DE=

1

3

BC，則

AD

•

AE

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：設(shè)

AB

=

a

，

AC

=

b

，

BD

=λ

BC

，0≤λ≤

2

3

．利用平面向量基本定理表示出

AD

，

AE

．根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算得到

AD

•

AE

=8λ2-

16

3

λ+

8

3

=8(λ-

1

3

)2+

16

9

．利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出

AD

•

AE

的取值范圍．

解答： 解：設(shè)

AB

=

a

，

AC

=

b

，

BD

=λ

BC

，0≤λ≤

2

3

．
則

AD

=

a

+λ(

b

-

a

)．
∵DE=

1

3

BC，
∴

BE

=(λ+

1

3

)

BC

．
∴

AE

=

a

+(λ+

1

3

)(

b

-

a

)．
∴

AD

•

AE

=(

a

+λ(

b

-

a

))•(

a

+(λ+

1

3

)(

b

-

a

))
=((1-λ)

a

+λ

b

)((

2

3

-λ)

a

+(λ+

1

3

)

b

)
∵

a

⊥

b

，且|

a

|=|

b

|=2，
∴上式可化簡(jiǎn)為

AD

•

AE

=8λ2-

16

3

λ+

8

3

=8(λ-

1

3

)2+

16

9

．
∴當(dāng)λ=

1

3

時(shí)，

AD

•

AE

取最小值為

16

9

．
當(dāng)λ=0或

2

3

時(shí)，

AD

•

AE

取最大值為

8

3

．
∴

AD

•

AE

的取值范圍是[

16

9

，

8

3

]．
故答案為：[

16

9

，

8

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量基本定理，向量的數(shù)量積以及二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．