Question

已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）．
（1）若（2

OA

-

OB

）⊥

OC

，求cos2α；
（2）若|

OA

+

OC

|=

13

，且α∈（0，π），求

OB

，

OC

夾角的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系可得2

OA

•

OC

=

OB

•

OC

，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算、三角函數(shù)基本關(guān)系式、倍角公式即可得出；
（2）利用向量模的計算公式、向量夾角公式即可得出．

解答： 解：（1）∵（2

OA

-

OB

）⊥

OC

，∴（2

OA

-

OB

）•

OC

=0，∴2

OA

•

OC

=

OB

•

OC

，
∴6cosα=3sinα，∴tanα=2，
cos2α=cos2α-sin2α=

1-tan2α

1+tan2α

=-

3

5

．
(2)∵|

OA

+

OC

|=

13

，∴(

OA

+

OC

)2=10+6cosα=13，
∴cosα=

1

2

，又α∈(0，π)，∴α=

π

3

．

OB

•

OC

=3sinα=

3

2

3

，|

OB

|=3，|

OC

|=1．
∴cosα=

3

2

，α∈[0，π]，∴α=

π

6

．

點(diǎn)評：本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、三角函數(shù)基本關(guān)系式、倍角公式、向量模的計算公式、向量夾角公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于基礎(chǔ)題．