Question

數(shù)列{a_n}滿足an=

n，n=2k-1 ak，n=2k

（k∈N^*），設(shè)f(n)=a1+a2+…+a2n-1+a2n，則f（2014）-f（2013）等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的概念及簡單表示法

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)題意可看出數(shù)列奇數(shù)項的和a1+a3+…+a2n-1=

2n-1(2n-1+1)

2

=4^n-1，偶數(shù)項的和a2+a4+…+a2n=a1+a2+…+a2n-1=f（n-1）．從而可以表示出f（n）=4^n-1+f（n-1），所以f（2014）-f（2013）=4²⁰¹³．

解答： 解：∵an=

n，n=2k-1 ak，n=2k

（k∈N*），
f(n)=a1+a2+…+a2n-1+a2n，
∴數(shù)列前2ⁿ項中奇數(shù)項的和，
a1+a3+…+a2n-1=

2n-1(2n-1+1)

2

=4^n-1，
數(shù)列前2ⁿ項中偶數(shù)項的和，
a2+a4+…+a2n=a1+a2+…+a2n-1
=f（n-1）．
∴f（n）=4^n-1+f（n-1），
∴f（2014）-f（2013）=4²⁰¹³．
故答案為：4²⁰¹³

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列遞推式的靈活應(yīng)用，冪運(yùn)算的簡單應(yīng)用等，屬于難題．解題的關(guān)鍵是表示出f（n）．