Question

已知函數(shù)f（x）=2^x+λ2^-x（λ∈R）．
（1）當λ=-1時，求函數(shù)f（x）的零點；
（2）若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，求實數(shù)λ的值；
（3）若不等式

1

2

≤f（x）≤4在x∈[0，1]上恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理,函數(shù)奇偶性的性質,函數(shù)恒成立問題

專題：計算題

分析：（1）根據(jù)函數(shù)零點的定義，直接解方程即可，
（2）根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷即可，
（3）不等式轉化為參數(shù)λ的不等式，-2^2x+2^x-1≤λ≤-2^2x+2^x+2，求在區(qū)間的最值問題，問題得以解決．

解答： 解：（1）∵f（x）=2^x+λ2^-x，當λ=-1時，∴2^x-2^-x=0，解得，x=0；
（2）∵函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），∴λ2^x+2^-x=2^x+λ2^-x，解得λ=1
（3）∵

1

2

≤f（x）≤4
∴

1

2

≤2^x+λ2^-x≤4
∴-2^2x+2^x-1≤λ≤-2^2x+2^x+2，
設2^x=t，t∈[1，2]，
∴-t²+

1

2

t≤λ≤-t²+4t，
分別令g（t）=-t²+

1

2

t，h（t）=-t²+4t，
∴g（t）_max=g（1）=-

1

2

，h（t）_min=h（1）=3
∴-

1

2

≤λ≤3

點評：本題考查函數(shù)零點的求法，偶函數(shù)的判斷，指數(shù)型復合函數(shù)的性質以及應用，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．