Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=

1

4

，a_n+1=S_n+

t

16

（n∈N^*，t為常數(shù)）．
（1）若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，求t的值；
（2）若t＞-4，b_n=lga_n+1，數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T_n，當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)T_n取最小值，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出a_n+1=2a_n，n≥2，由此能證明{a_n}是等比數(shù)列，由a2=S1+

t

16

=

4+t

16

，a₁=

1

4

，解得t=4．
（2）由已知條件得an+1=

4+t

16

•2n-1，n∈N^*．?dāng)?shù)列{b_n}是等差數(shù)列，b₆＜0且b₇＞0，由此能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（1）∵an+1=Sn+

t

16

，①
∴an=Sn-1+

t

16

，②
①-②，得a_n+1=2a_n，n≥2，
∵a₁=

1

4

，∴{a_n}為首項(xiàng)是

1

4

，公比為2的等比數(shù)列，
∵a2=S1+

t

16

=

4+t

16

，
∴

4+t

4

=2，解得t=4．
（2）a2=

4+t

16

，a_n+1=2a_n，n＞1，
∴an+1=

4+t

16

•2n-1，n∈N^*．
∵a₂，a₃，a₄，…，a_n+1成等比數(shù)列，b_n=lga_n+1，
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，
∵數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T_n，當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)，T_n取最小值，
∴b₆＜0且b₇＞0…（10分）
解得0＜a₇＜1且a₈＞1，…
∴0＜8+2t＜1且16+2t＞1，
∴-

15

4

＜t＜-

7

2

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查實(shí)數(shù)取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．