Question

設實軸長為2的等軸雙曲線的焦點為F₁，F₂，以F₁F₂為直徑的圓交雙曲線于A，B，C，D四點，則|F₁A|+|F₁B|+|F₁C|+|F₁D|=（　�。�

• A、4

  3

• B、2

  3

• C、

  3

• D、

  3

  2

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由已知條件推導出雙曲線方程為x²-y²=1，以F₁F₂為直徑的圓的方程為x²+y²=2，聯立

x2-y2=1 x2+y2=2

，解得A（-

6

2

，

2

2

），B（-

6

2

，-

2

2

），C（

6

2

，-

2

2

），D（

6

2

，

2

2

），由此能求出|F₁A|+|F₁B|+|F₁C|+|F₁D|的值．

解答： 解：∵實軸長為2的等軸雙曲線的焦點為F₁，F₂，
∴雙曲線方程為x²-y²=1，
∴F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，
∴以F₁F₂為直徑的圓的方程為x²+y²=2，
聯立

x2-y2=1 x2+y2=2

，解得A（-

6

2

，

2

2

），
B（-

6

2

，-

2

2

），C（

6

2

，-

2

2

），D（

6

2

，

2

2

），
∴|F₁A|=|F₁B|=

(- 6 2 + 2 )2+(± 2 2 )2

=

4-2 3

=

3

-1，
|F₁C|=|F₁D|=

( 6 2 + 2 )2+(± 2 2 )2

=

4+2 3

=

3

+1，
∴|F₁A|+|F₁B|+|F₁C|+|F₁D|=2（

3

-1+

3

+1）=4

3

．
故選：A．

點評：本題考查雙曲線方程的應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．