Question

（2005•朝陽區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=-x³+3x
（Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（Ⅱ）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)是增函數(shù)．

Answer 1

分析：（I）先判斷f（x）的定義域是否關(guān)于原點對稱，再判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，最后根據(jù)奇函數(shù)的定義得到結(jié)論．
（II）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，并分析當(dāng)-1＜x＜1時，導(dǎo)函數(shù)值的符號，進(jìn)而可得函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)是增函數(shù)

解答：證明：（I）f（x）的定義域是R關(guān)于原點對稱．
設(shè)任意x∈R，∵f（-x）=-（-x）³+3（-x）=-（-x³+3x）=-f（x），（4分）
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)（6分）
（II）∵y′=-3x²+3=3（1-x）（1+x），（9分）
當(dāng)-1＜x＜1時．
∴y′＞0，（12分）
所以函數(shù)f（x）=-x³+3x在區(qū)間（-1，1）內(nèi)是增函數(shù)．（14分）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，熟練掌握定義法證奇偶性和單調(diào)性的方法和步驟是解答的關(guān)鍵．