Question

設(shè)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，如圖，過F₂與雙曲線一條漸近線平行的直線交另一條漸近線于點(diǎn)P，若∠F₁PF₂為鈍角，則該雙曲線離心率的取值范圍是（　　）

• A、（2，+∞）
• B、（3，+∞）
• C、（1，

  2

  ）
• D、（1，2）

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：確定M，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)，進(jìn)而由

PF1

•

PF2

＜0，結(jié)合abc的關(guān)系可得關(guān)于ac的不等式，利用離心率的定義可得范圍．

解答： 解：設(shè)直線方程為y=

b

a

（x-c），與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）聯(lián)立，可得交點(diǎn)坐標(biāo)為P（

c

2

，-

bc

2a

）
∵F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
∴

PF1

=（-

3c

2

，

bc

2a

），

PF2

=（

c

2

，

bc

2a

），
由題意可得

PF1

•

PF2

＜0，即

b2c2

4a2

-

3c2

4

＜0，
化簡(jiǎn)可得b²＜3a²，即c²-a²＜3a²，
故可得c²＜4a²，c＜2a，可得e=

c

a

＜2，
∵e＞1，∴1＜e＜2
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的離心率，考查學(xué)生解方程組的能力，屬中檔題．