Question

如圖，正三棱柱ABC-A′B′C′中，D是BC的中點(diǎn)，AA′=AB=2
（1）求證：AD⊥B′D；
（2）求三棱錐A′-AB′D的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由正三棱柱的結(jié)構(gòu)性質(zhì)可得側(cè)棱與底面垂直，底面三角形為正三角形，由此可得AD⊥BC，BB′⊥AD，由線面垂直的判定定理可證AD⊥平面BCC′B′，再由線面垂直的性質(zhì)得AD⊥B′D；
（2）由（1）可證BD⊥平面DAA′，分別求得三棱錐的高與底面面積，代入體積公式計(jì)算可得答案．

解答： 解：（1）證明：在正三棱柱ABC-A′B′C′中，底面△ABC為正三角形，
D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，又BB′⊥AD，BC∩BB′=B，
∴AD⊥平面BCC′B′，B′D?平面BCC′B′，
∴AD⊥B′D；
（2）連接A′D，∵BC⊥AD，BC⊥AA′，∴BC⊥平面DAA′，
∴BD為三棱錐A′-AB′D的高，
∵AA′=AB=2，∴BD=1，
△DAA′為直角三角形，AD=

3

，
∴V_A′-AB′D=

1

3

×

1

2

×2×

3

×1=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正三棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了線面垂直的證明與性質(zhì)，考查了棱錐的體積計(jì)算，熟練掌握線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理是證明的關(guān)鍵，計(jì)算要細(xì)心．