Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AP=1，M為PB的中點，N在BC上，且AN=BN．
（Ⅰ）求證：AB⊥MN；
（Ⅱ）求點P到平面NMA的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取AB中點Q，連接MQ、NQ，由已知條件推導出AB⊥平面MNQ，由此能夠證明AB⊥MN．
（2）設(shè)點P到平面NMA的距離為h，由V_P-NMA=V_N-PAM，能求出結(jié)果．

解答： （1）證明：取AB中點Q，連接MQ、NQ，
∵AN=BN，∴NQ⊥AB，…（2分）
∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AB，又∵MQ∥PA，
∴MQ⊥AB，…（4分）
∴AB⊥平面MNQ，又MN?平面MNQ，
∴AB⊥MN．…（6分）
（2）設(shè)點P到平面NMA的距離為h，
∵M為PB的中點，∴S_△PAM=

1

2

S△PAB=

1

4

，
又NQ⊥AB，NQ⊥PA，∴NQ⊥面PAB，
∵∠ABC=30°，∴NQ=

3

6

，…（7分）
又MN=

NQ2+MQ2

=

3

3

，AN=

3

3

，AM=

2

2

，…（9分）
△NMA邊AM上的高為

30

12

，
∴S_△NMA=

1

2

•

2

2

•

30

12

=

15

24

，…（10分）
由V_P-NMA=V_N-PAM，得

1

3

•S△NMA•h=

1

3

•S△PAM•NQ，
∴h=

5

5

．即點P到平面NMA的距離為

5

5

．…（12分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．