Question

某園藝師培育了兩種珍稀樹苗A與B，株數(shù)分別為12與18，現(xiàn)將這30株樹苗的高度編寫成如莖葉圖（單位：cm）：

在這30株樹苗中，樹高在175cm以上（包括175cm）定義為“生長(zhǎng)良好”，樹高在175cm以下（不包括175cm）定義為“非生長(zhǎng)良好”，且只有“B生長(zhǎng)良好”的才可以出售．
（1）對(duì)于這30株樹苗，如果用分層抽樣的方法從“生長(zhǎng)良好”和“非生長(zhǎng)良好”中共抽取5株，再?gòu)倪@5株中任選2株，那么至少有一株“生長(zhǎng)良好”的概率是多少？
（2）若從所有“生長(zhǎng)良好”中選3株，用X表示所選中的樹苗中能出售的株樹，試寫出X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,莖葉圖,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）根據(jù)莖葉圖，可知“生長(zhǎng)良好”有12株，“非生長(zhǎng)良好”的有18株，用分層抽樣的方法，求出“生長(zhǎng)良好”和“非生長(zhǎng)良好”的株數(shù)，利用對(duì)立事件的概率，即可求出至少有一株“生長(zhǎng)良好”的概率；
（2）由題設(shè)知X的可能取值分別為0，1，2，3，分別求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），由此能求出X的分布列和EX．

解答： 解：（1）根據(jù)莖葉圖，可知“生長(zhǎng)良好”有12株，“非生長(zhǎng)良好”的有18株，
用分層抽樣的方法從“生長(zhǎng)良好”和“非生長(zhǎng)良好”中共抽取5株，“生長(zhǎng)良好”的有2株，“非生長(zhǎng)良好”的有3株．
∴至少有一株“生長(zhǎng)良好”的概率是1-

C 2 3

C 2 5

=

7

10

；
（2）從所有“生長(zhǎng)良好”中選3株，其中A種樹苗有8株，B種樹苗有4株，則X的可能取值分別為0，1，2，3，
P（X=0）=

C 3 8

C 3 12

=

14

55

；P（X=1）=

C 2 8 C 1 4

C 3 12

=

28

55

；P（X=2）=

C 1 8 C 2 4

C 3 12

=

12

55

；P（X=3）=

C 3 4

C 3 12

=

1

55

，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	14 55	28 55	12 55	1 55

∴EX=0×

14

55

+1×

28

55

+2×

12

55

+3×

1

55

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．