Question

（理）在△ABC中，C為鈍角，設(shè)M=sin（A+B），N=sinA+sinB，P=cosA+cosB，則M，N，P的大小關(guān)系

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：利用兩角和與差的正弦與正弦函數(shù)的性質(zhì)易知M最小，再對(duì)N與P作差，利用輔助角公式及正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案．

解答： 解：∵M(jìn)=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA＜sinA+sinB=N，
同理，M＜P，即M最��；
又N-P=sinA+sinB-（cosA+cosB）
=（sinA-cosA）+（sinB-cosB）
=

2

sin（A-

π

4

）+

2

sin（B-

π

4

）
=

2

sin（B-

π

4

）-

2

sin（

π

4

-A）；
設(shè)A＜

π

4

，由C為鈍角，知A+B＜

π

2

，
∴

π

4

＞

π

4

-A＞B-

π

4

＞-

π

4

，
∴sin（

π

4

-A）＞sin（B-

π

4

），
∴N-P＜0，即N＜P；
∴M，N，P的大小關(guān)系為M＜N＜P．
故答案為：M＜N＜P．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的正弦與正弦函數(shù)的性質(zhì)，作差判斷N與P的大小是難點(diǎn)，也是關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．