Question

6．正三棱錐的側(cè)棱長為2$\sqrt{3}$，側(cè)棱與底面所成的角為60°，則該棱錐的體積為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{9\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{27\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 可作正三棱錐S-ABC，取底面中心為O，BC中點為D，連接SO，BO，OD，容易說明∠SBO=60°，并且∠OBD=30°，從而根據(jù)側(cè)棱長可以分別求出該正三棱錐的高SO，底面正三角形的邊長，從而可以求出底面面積，根據(jù)三棱錐的體積公式即可得出該三棱錐的體積．

解答 解：如圖，正三棱錐S-ABC，底面中心為O，取BC中點D，連接SO，BO，OD，則：

SO⊥底面ABC，OD⊥BC；
∴∠SBO為側(cè)棱SB和底面ABC所成角為60°；
∴∠SBO=60°，SB=$2\sqrt{3}$；
∴在RT△SBO中，OB=$SB•cos60°=\sqrt{3}$，SO=SB•sin60°=3；
∴$BD=OB•cos30°=\frac{3}{2}$，BC=3；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}•3•3•sin60°=\frac{9\sqrt{3}}{4}$；
∴${V}_{三棱錐S-ABC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•SO$=$\frac{1}{3}×\frac{9\sqrt{3}}{4}×3=\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
故選：C．

點評 考查正三棱錐的定義，正三角形中心的概念，以及直線和平面所成角的概念并能找到直線和平面所成角，直角三角形邊角的關(guān)系，以及三角形面積公式，三棱錐的體積公式．