Question

16．如圖，四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2．
（1）直線PB與CD所成角的余弦值；
（2）求直線CD和平面PAB所成的角θ的大�。�

Answer 1

分析 （1）取AD中點O，連結(jié)CO、PO，以O(shè)為原點，OC為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線PB與CD所成角的余弦值．
（2）求出平面PAB的法向量和$\overrightarrow{CD}$，利用向量法能求出直線CD和平面PAB所成的角θ的大�。�

解答 解：（1）取AD中點O，連結(jié)CO、PO，
∵四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，
∴PO⊥平面ABCD，CO⊥AD，
以O(shè)為原點，OC為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則C（1，0，0），D（0，1，0），B（1，-1，0），P（0，0，1），
$\overrightarrow{PB}$=（1，-1，-1），$\overrightarrow{CD}$=（-1，1，0），
設(shè)直線PB與CD所成角為α，
則cosα=|$\frac{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{CD}|}$|=|$\frac{-1-1}{\sqrt{3}×\sqrt{2}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴直線PB與CD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（2）A（0，-1，0），$\overrightarrow{PA}=（0，-1，-1）$，$\overrightarrow{PB}$=（1，-1，-1），$\overrightarrow{CD}$=（-1，1，0），
設(shè)平面PAB的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=-y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=x-y-z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}=（0，-1，1）$，
∵直線CD和平面PAB所成的角為θ，
∴sinθ=|cos＜$\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{CD}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$|=$\frac{1}{2}$，
∴θ=30°，
∴直線CD和平面PAB所成的角θ為30°．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查線面角的大小的求法，是中檔題，解題時要注意向量法的合理運用．