Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，若△AF₁F₂為正三角形且周長(zhǎng)為6；
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若橢圓C上存在A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若直線l：y=kx+n與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，求證直線l過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

a=2c 6c=6

，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)直線AB的方程為y=-x+p，設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）由

3x2+4y2=12 y=-x+p

，得7x²-8px+4p²-12=0，由此利用根的判別式和韋達(dá)定理能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得：（3+4k²）x2+8kmx+4（m²-3）=0，推導(dǎo)出7m²+16mk+4k²=0，由此能求出直線l過定點(diǎn)（

2

7

，0）．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，
△AF₁F₂為正三角形且周長(zhǎng)為6，
∴

a=2c 6c=6

，解得c=1，a=2，b²=4-1=3，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設(shè)直線AB的方程為y=-x+p，設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
由

3x2+4y2=12 y=-x+p

，得7x²-8px+4p²-12=0
∵△=64p²-28（4p²-12）＞0，
∴-

7

＜n＜

7

∵x₁+x₂=

8p

7

，x₁x₂=

4p2-12

7

，
設(shè)A．B的中點(diǎn)C（x₀，y₀），
則 x0=

4p

7

，y0=

5

7

p，
點(diǎn)C在l：y=x+m上
∴p=7m，即-

7

＜7m＜

7

，得-

7

7

＜m＜

7

7

．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-

7

7

，

7

7

）．
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得：（3+4k²）x2+8kmx+4（m²-3）=0，
∵△＞0，∴3+4k²-m²＞0，
x₁+x₂=-

8mk

3+4k2

，x₁x₂=

4(m2-3)

3+4k2

，
∴y₁y₂=

3(m2-4k2)

3+4k2

，
∵以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，∴k_AD•k_BD=-1，
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，∴7m²+16mk+4k²=0，
∴m₁=-2k，m₂=-

2

7

k，且均滿足3+4k²-m²＞0，
當(dāng)m₁=-2k時(shí)，l的方程為y=k（x-2），則直線過定點(diǎn)（2，0）與已知矛盾
當(dāng)m1=-

2

7

時(shí)，l的方程為y=k（x-

2

7

），則直線過定點(diǎn)（

2

7

，0）
∴直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（

2

7

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查直線過定點(diǎn)的判斷與定點(diǎn)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．