Question

13．已知等比數(shù)列{a_n}的公比大于零，a₁+a₂=3，a₃=4，數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，${b_n}=\frac{{n（{n+1}）}}{n+c}$，c≠0是常數(shù)．
（1）求的值，數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)c_n=a_n，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)c_n=b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過聯(lián)立方程組a₁（1+q）=3、${a}_{1}{q}^{2}$=4，進(jìn)而計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，利用分組法求和，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a₁+a₂=3，a₃=4，
∴a₁（1+q）=3，${a}_{1}{q}^{2}$=4，
解方程組得到：a₁=1，q=2，
則${a_n}={2^{n-1}}$；
利用2b₂=b₁+b₃得c=1，
于是得到b_n=n；
（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
S_n=c₁+c₂+…+c_n
$\begin{array}{l}=（{{b_1}+{b_3}+…+{b_{n-1}}}）+（{{a_2}+{a_4}+…+{a_n}}）\\=\frac{{\frac{n}{2}（{1+n-1}）}}{2}+\frac{{2（{1-{4^{\frac{n}{2}}}}）}}{1-4}\end{array}$
=$\frac{n^2}{4}+\frac{2}{3}（{{2^n}-1}）$，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S_n=c₁+c₂+…+c_n
=${S_{n-1}}+{c_n}=\frac{{{{（{n-1}）}^2}}}{4}+\frac{2}{3}（{{2^{n-1}}-1}）+n$
=$\frac{{{{（{n+1}）}^2}}}{4}+\frac{2}{3}（{{2^{n-1}}-1}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．