Question

13．己知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)．求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，由周期公式可得；
（2）解不等式2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得f（x）所有的單調(diào)遞增區(qū)間，取x∈[0，π]的可得．

解答 解：（1）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x
=$\sqrt{3}$sin2x+1+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z，
∵x∈[0，π]，∴所求單調(diào)遞增區(qū)間為：[0，$\frac{π}{6}$]和[$\frac{2π}{3}$，π]

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性，由公式化簡已知函數(shù)式是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．