Question

2．已知函數(shù)f（x）滿足f（1）=2，且對任意x，y∈R都有f（x）=f（x+y）•f（-y），記$\underset{\stackrel{n}{π}}{i=1}$a₁=a₁a₂…a_n，則$\underset{\stackrel{12}{π}}{i=1}$f（7-i）=64．

Answer 1

分析 利用f（x）=f（x+y）•f（-y），可把$\underset{\stackrel{12}{π}}{i=1}$f（7-i）=f（6）f（5）f（4）…f（-4）f（-5）轉(zhuǎn)化為求f⁶（1），即可求得答案．

解答 解：∵$\underset{\stackrel{n}{π}}{i=1}$a₁=a₁a₂…a_n，
∴$\underset{\stackrel{12}{π}}{i=1}$f（7-i）=f（6）f（5）f（4）…f（-4）f（-5），
∵對任意x，y∈R都有f（x）=f（x+y）•f（-y），
∴f（6）f（-5）=f（1），f（5）f（-4）=f（1），…，f（1）f（0）=f（1），
∴$\underset{\stackrel{12}{π}}{i=1}$f（7-i）=f（6）f（5）f（4）…f（-4）f（-5）=f⁶（1），
∵f（1）=2，
∴f⁶（1）=2⁶=64，
∴$\underset{\stackrel{12}{π}}{i=1}$f（7-i）=64．
故答案為：64．

點評 本題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，利用題中所給信息把問題轉(zhuǎn)化成熟悉的問題，本題的解法可以類比數(shù)列求和中的“倒序相加法”，關(guān)鍵點是抓住f（6）f（-5）=f（1），f（5）f（-4）=f（1），…，f（1）f（0）=f（1），屬于中檔題．