Question

已知橢圓

x2

m

+y²=1（m＞1）和雙曲線

x2

n

-y²=1（n＞0）有相同的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，則△F₁PF₂的形狀是（　�。�

• A、銳角三角形
• B、直角三角形
• C、鈍角三角形
• D、隨m，n的變化而變化

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由雙曲線的定義|PF₁|-|PF₂|=2

m

，由橢圓的定義|PF₁|+|PF₂|=2

n

，再由|F₁F₂|=2

m-1

，利用勾股定理能判斷△F₁PF₂的形狀．

解答： 解：由題意設(shè)兩個(gè)圓錐曲線的焦距為2c，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2

m

，
雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2

n

，
不妨令P在雙曲線的右支上，
由雙曲線的定義|PF₁|-|PF₂|=2

n

，①
由橢圓的定義|PF₁|+|PF₂|=2

m

，②
∵m-n=2，∴n=m-2，
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=2（m+n），
又∵橢圓

x2

m

+y²=1（m＞1）和雙曲線

x2

n

-y²=1（n＞0）有相同的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，
∴m-1=n+1，∴m-n=2，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=2（m+n）=4m-4，
|F₁F₂|²=（2

m-1

）²=4m-4，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|，
則△F₁PF₂的形狀是直角三角形
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形形狀的判斷，是中檔題，解題時(shí)要熟練掌握橢圓和雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．