Question

已知A、B為拋物線x²=2py（p＞0）上兩點(diǎn)，直線AB過焦點(diǎn)F，A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為C、D，則
①

CF

•

DF

=0；
②存在實(shí)數(shù)λ使得

AD

=λ

AO

（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
③若線段AB的中點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為T，有

FT

•

AB

=0；
④拋物線在A點(diǎn)的切線和在B點(diǎn)切線一定相交，并且相互垂直．
其中說法正確的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：對(duì)四個(gè)命題分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)直線AB方程為y=kx+

p

2

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則C(x1，-

p

2

)，D(x2，-

p

2

)
由

y=kx+ p 2 x2=2py

⇒x2-2pkx-p2=0，

x1+x2=2pk x1x2=-p2

①由拋物線定義可知：AF=AC，BF=BD，AC∥BD∥y軸，∠AFC=∠CFO，∠BFD=∠DFO，所以∠CFD=90°即

CF

•

DF

=0；①正確
②kOA=

y1

x1

=

x 2 1 2p

x1

=

x1

2p

，kDO=

- p 2

x2

=

- p 2

-p2 x1

=

x1

2p

∴AO∥DO即存在實(shí)數(shù)λ使得

AD

=λ

AO

；②正確
③因?yàn)?span id="e7smsok" class="MathJye">T(

x1+x2

2

，-

p

2

)，由于

x1+x2

2

=pk，若k≠0則kFT=

p 2 + p 2

-pk

=-

1

k

k_FT•k_AB=-1，

FT

•

AB

=0；若k=0顯然

FT

•

AB

=0；③正確
④由于y′=

x

p

，拋物線在A點(diǎn)的切線斜率為k1=

x1

p

，拋物線在B點(diǎn)切線斜率為k2=

x2

p

因?yàn)?span id="fyxi6mt" class="MathJye">k1k2=

x1x2

p2

=

-p2

p2

-1，故一定相交，并且相互垂直．④正確
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的概念和性質(zhì)，注重平時(shí)復(fù)習(xí)對(duì)知識(shí)的理解和重要內(nèi)容的記憶，特別是教材中例題研究的方法和結(jié)論，都會(huì)是高考命題的主要來源．