Question

【題目】設(shè)

（1）證明:當(dāng)時(shí)，；

（2）當(dāng)時(shí)，求整數(shù)的最大值.（參考數(shù)據(jù)：，）

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）將代入函數(shù)解析式可得，構(gòu)造函數(shù)，求得并令，由導(dǎo)函數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性并求得最大值，由即可證明恒成立，即不等式得證.

（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，變形后討論當(dāng)時(shí)的函數(shù)單調(diào)情況：當(dāng)時(shí)，可知滿足題意；將不等式化簡(jiǎn)后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求得極值點(diǎn)與函數(shù)的單調(diào)性，從而求得最小值為，分別依次代入檢驗(yàn)的符號(hào)，即可確定整數(shù)的最大值；當(dāng)時(shí)不滿足題意，因?yàn)榍笳麛?shù)的最大值，所以時(shí)無(wú)需再討論.

（1）證明：當(dāng)時(shí)代入可得，

令，，

則，

令解得，

當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減，

所以，

則，即成立.

（2）函數(shù)

則，

若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則在時(shí)單調(diào)遞減，所以，即當(dāng)時(shí)成立；

所以此時(shí)需滿足的整數(shù)解即可，

將不等式化簡(jiǎn)可得，

令

則

令解得，

當(dāng)時(shí)，即在內(nèi)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，即在內(nèi)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)取得最小值，

則，

，

，

所以此時(shí)滿足的整數(shù) 的最大值為；

當(dāng)時(shí)，在時(shí)，此時(shí)，與題意矛盾，所以不成立.

因?yàn)榍笳麛?shù)的最大值，所以時(shí)無(wú)需再討論，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，整數(shù)的最大值為.