【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C: (a>b>0)的一條準(zhǔn)線方程為x=,離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,設(shè)A為橢圓的上頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作兩條直線AM,AN,分別與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn),且直線MN垂直于x軸.
① 設(shè)直線AM,AN的斜率分別是k1, k2,求k1k2的值;
② 過(guò)M作直線l1⊥AM,過(guò)N作直線l2⊥AN,l1與l2相交于點(diǎn)Q.試問(wèn):點(diǎn)Q是否在一條定直線上?若在,求出該直線的方程;若不在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1) +y2=1.(2) ① ② 點(diǎn)Q在一條定直線y=-1上
【解析】試題分析:(1)根據(jù)題中條件得: ,即可得解;
(2)①根據(jù)橢圓的性質(zhì),M,N兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),故可設(shè)M(x0,y0),N(x0,-y0)( x0≠0,y0≠0),由k1k2=,及點(diǎn)在橢圓上即可得解;
②設(shè)Q(x1,y1),用坐標(biāo)表示斜率,通過(guò)垂直得斜率之積為-1,可得(y0-1)(y1-y0)=-x0 (x1-x0),(-y0-1)(y1+y0)=-x0 (x1-x0),化得(y1+1) y0=0,所以y1=-1,得證.
試題解析:
(1)設(shè)橢圓C:+=1的半焦距為c.
由題意,得 解得從而b=1.
所以橢圓C的方程為+y2=1.
(2)①根據(jù)橢圓的性質(zhì),M,N兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),
故可設(shè)M(x0,y0),N(x0,-y0)( x0≠0,y0≠0),
從而 k1k2=·=.
因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓C上,所以+y02=1,所以1-y02=,
所以k1k2==.
②設(shè)Q(x1,y1),依題意A(0,1).
因?yàn)?/span>l1⊥AM,所以·=-1,即(y0-1)(y1-y0)=-x0 (x1-x0);
因?yàn)?/span>l2⊥AN,所以·=-1,即(-y0-1)(y1+y0)=-x0 (x1-x0),
故 (y0-1)(y1-y0)-(-y0-1)(y1+y0)=0,
化得(y1+1) y0=0.
從而必有y1+1=0,即y1=-1.
即點(diǎn)Q在一條定直線y=-1上.
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(Ⅱ)求證:平面平面.
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(1)求曲線C的參數(shù)方程;
(2)在曲線C上取一點(diǎn)P,求|AP|2+|BP|2的最值.
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【題目】某商場(chǎng)對(duì)顧客實(shí)行購(gòu)物優(yōu)惠活動(dòng),規(guī)定一次購(gòu)物付款總額:
(1)如果不超過(guò)200元,則不給予優(yōu)惠;
(2)如果超過(guò)200元但不超過(guò)500元,則按標(biāo)價(jià)給予9折優(yōu)惠;
(3)如果超過(guò)500元,其500元內(nèi)的按第(2)條給予優(yōu)惠,超過(guò)500元的部分給予7折優(yōu)惠.
某人單獨(dú)購(gòu)買(mǎi)A,B商品分別付款168元和423元,假設(shè)他一次性購(gòu)買(mǎi)A,B兩件商品,則應(yīng)付款是
A. 413.7元 B. 513.7元 C. 546.6元 D. 548.7元
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【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的側(cè)面PAD是正三角形,底面ABCD為菱形,A點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),若BE=PE.
(1)求證:PB⊥BC;
(2)若∠PEB=120°,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
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【題目】已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí), ,若集合,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
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(1)求的值;
(2)已知在定義域上為減函數(shù),若對(duì)任意的,不等式為常數(shù))恒成立,求的取值范圍.
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