Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁和F₂，橢圓C上一點(diǎn)到F₁和F₂的距離之和為12．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ） 設(shè)點(diǎn)B是橢圓C 的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P，Q是橢圓上；異于點(diǎn)B的兩點(diǎn)，且PB⊥QB，求證直線PQ經(jīng)過y軸上一定點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓C上一點(diǎn)到F₁和F₂的距離之和為12，離心率為

3

2

，求出幾何量，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合PB⊥QB，利用向量的數(shù)量積公式，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的半焦距為c，
則∵橢圓C上一點(diǎn)到F₁和F₂的距離之和為12，離心率為

3

2

，
∴

2a=12 c a = 3 2

，解得

a=6 c=3 3

，
∴b²=a²-c²=9．
∴所求橢圓C的方程為：

x2

36

+

y2

9

=1．…（4分）
（Ⅱ） 顯然直線PQ的斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b
聯(lián)立方程組

y=kx+b x2 36 + y2 9 =1

，消去y整理得（1+4k²）x²+8kbx+4b²-36=0．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

8kb

4k2+1

，x₁x₂=

4b2-36

4k2+1

．
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b=

2b

4k2+1

，y₁y₂=

b2-36k2

4k2+1

…（8分）
∵PB⊥QB，且

BP

=（x₁，y₁-3），

BQ

=（x₂，y₂-3），
∴

BP

•

BQ

=x₁x₂+（y₁-3）（y₂-3）=0，
∴

4b2-36

4k2+1

+

b2-36k2

4k2+1

-3•

2b

4k2+1

+9=0
∴5b²-6b-27=0．
解得b=-

9

5

或 b=3（舍去）
∴直線PQ經(jīng)過y軸上一定點(diǎn)（0，-

9

5

）．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．