Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，上頂點(diǎn)M（0，b），△MF₁F₂為正三角形且周長(zhǎng)為6，直線l：x=my+4與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求

OA

•

OB

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)上頂點(diǎn)M（0，b），△MF₁F₂為正三角形且周長(zhǎng)為6，求出幾何量，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l：x=my+4代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，即可求

OA

•

OB

的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵上頂點(diǎn)M（0，b），△MF₁F₂為正三角形且周長(zhǎng)為6，
∴a=2，c=1，b=

3

，
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）直線l：x=my+4代入橢圓方程，得（3m²+4）y²+24my+36=0，
由△=（24m）²-4×36×（3m²+4）＞0
可得m²＞4．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=-

24m

3m2+4

，y₁y₂=

36

3m2+4

∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+4m（y₁+y₂）+16=-4+

116

3m2+4

，
∵m²＞4，
∴3m²+4＞16，
∴

OA

•

OB

∈（-4，

13

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查向量的數(shù)量積公式，屬于中檔題．