Question

已知某商品的進(jìn)貨單價(jià)為1元/件，商戶甲往年以單價(jià)2元/件銷售該商品時(shí)，年銷量為1萬件，今年擬下調(diào)銷售單價(jià)以提高銷量，增加收益．據(jù)測(cè)算，若今年的實(shí)際銷售單價(jià)為x元/件（1≤x≤2），今年新增的年銷量（單位：萬件）與（2-x）²成正比，比例系數(shù)為4．
（1）寫出今年商戶甲的收益y（單位：萬元）與今年的實(shí)際銷售單價(jià)x間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）商戶甲今年采取降低單價(jià)，提高銷量的營銷策略是否能獲得比往年更大的收益（即比往年收益更多）？說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）直接根據(jù)題意可寫出今年的銷售量，從而可計(jì)算出客戶甲的收益；
（2）根據(jù)（1）中建立的函數(shù)，求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0，求出極大值點(diǎn)和極大值，再求出x=2時(shí)的函數(shù)值，進(jìn)行比較，最大的就是最大值．

解答： 解 （1）由題意知，今年的年銷售量為1+4（x-2）²（萬件）．
∵每銷售一件，商戶甲可獲利（x-1）元，
∴今年商戶甲的收益
y=[1+4（x-2）²]（x-1）
=4x³-20x²+33x-17，（1≤x≤2）．
（2）由（1）知
y=4x³-20x²+33x-17，1≤x≤2，
∴y′=12x²-40x+33=（2x-3）（6x-11）．
令y′=0，解得x=

3

2

，或x=

11

6

．列表如下：

x	（1， 3 2 ）	3 2	（ 3 2 ， 11 6 ）	11 6	（ 11 6 ，2）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

又f（

3

2

）=1，f（2）=1，
∴f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值為1（萬元）．
∵往年的收益為（2-1）×1=1（萬元），
∴商戶甲采取降低單價(jià)，提高銷量的營銷策略不能獲得比往年更大的收益．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)提取和分析能力，考查導(dǎo)數(shù)再求函數(shù)最大值中的應(yīng)用，屬于中檔題．