Question

已知函數(shù)f(x)＝log_a (a>0且a≠1)是奇函數(shù)．

(1)求m的值；

(2)判斷f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上的單調(diào)性并加以證明；

(3)當(dāng)a>1，x∈(1，)時(shí)，f(x)的值域是(1，＋∞)，求a的值．

Answer 1

 (1)∵f(x)是奇函數(shù)，x＝1不在f(x)的定義域內(nèi)，∴x＝－1也不在函數(shù)定義域內(nèi)，

令1－m·(－1)＝0得m＝－1.

(也可以由f(－x)＝－f(x)恒成立求m)

(2)由(1)得f(x)＝ (a>0且a≠1)，

任取x₁、x₂∈(1，＋∞)，且x₁<x₂，

∵x₁>1，x₂>1，x₁<x₂，

∴x₁－1>0，x₂－1>0，x₂－x₁>0.

∴t(x₁)>t(x₂)，即

∴當(dāng)a>1時(shí)，

即f(x₁)>f(x₂)；

當(dāng)0<a<1時(shí)，

即f(x₁)<f(x₂)，

∴當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在(1，＋∞)上是減函數(shù)，當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)．

(3)∵a>1，∴f(x)在(1，)上是減函數(shù)，

∴當(dāng)x∈(1，)時(shí)，f(x)>f()＝log_a(2＋)，

由條件知，log_a(2＋)＝1，∴a＝2＋.