Question

【題目】已知拋物線：的焦點為，點在拋物線上，且．

（1）求拋物線的方程；

（2）過點作互相垂直的兩條直線，與拋物線分別相交于點，、分別為弦、的中點，求面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）16

【解析】

（1）由拋物線定義可得，故，再由點在拋物線上代入方程即可。

（2）將直線的方程為代入拋物線方程，利用韋達定理和中點坐標公式得出，同理得出。進而求出和 ,又是直角三角形易求面積，利用不等式求出面積的最小值。

（1）拋物線的準線方程為．

由拋物線的定義可得，故．

由點在拋物線上，可得，整理得，

解得或，又，所以．

故拋物線的方程為．

（2）由（1）知拋物線的方程為，焦點為，

由已知可得，所以兩直線的斜率都存在且均不為0．

設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，

故直線的方程為．

聯(lián)立方程組，消去，整理得．

設(shè)，，則，

因為為弦的中點，所以，

由得，故．

同理可得．

故，

．因為，

所以的面積

，當且僅當，即時，等號成立．

所以的面積的最小值為16．