【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個數(shù)；

（2）若有兩個極值點(diǎn)，證明：.

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值點(diǎn)；

（2）由（1）可知，當(dāng)且僅當(dāng)時，有兩個極值點(diǎn)，且為方程的兩根，，求出，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

（1）.

①當(dāng)時，.

當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減.

即函數(shù)只有一個極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn).

②當(dāng)時，，

令，得.

當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞減.

即函數(shù)有一個極大值點(diǎn)，有一個極小值點(diǎn).

③當(dāng)時，，此時恒成立，

即在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)時，有且僅有一個極大值點(diǎn)，即只有1個極值點(diǎn)；

當(dāng)時，有一個極大值點(diǎn)和一個極小值點(diǎn)，即有2個極值點(diǎn)；

當(dāng)時，沒有極值點(diǎn).

（2）由（1）可知，當(dāng)且僅當(dāng)時，

有兩個極值點(diǎn)，且為方程的兩根，

即，

所以

.

令，

則恒成立，

所以在上單調(diào)遞增，

所以，

即.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）討論的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)；

（2）若對任意的，成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知是定義在上的函數(shù)，記，的最大值為.若存在，滿足，則稱一次函數(shù)是的“逼近函數(shù)”，此時的稱為在上的“逼近確界”.

（1）驗證：是的“逼近函數(shù)”；

（2）已知.若是的“逼近函數(shù)”，求的值；

（3）已知的逼近確界為，求證：對任意常數(shù)，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù),.

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，求實數(shù)的值；

（2）若在有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍；

（3）當(dāng)時，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)是數(shù)列的前n項和，對任意都有，（其中k、b、p都是常數(shù)）.

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（2）當(dāng)、、時，若、，求數(shù)列的通項公式；

（3）若數(shù)列中任意（不同）兩項之和仍是該數(shù)列中的一項，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”。當(dāng)、、時，.試問：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”.使得對任意.都有，且.若存在，求數(shù)列的首項的所有取值的集合；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）函數(shù)在處的切線過點(diǎn)，求的方程；

（2）若且函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為，過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為 .

（1）求橢圓的方程;

（2）若上存在兩點(diǎn)，橢圓上存在兩個點(diǎn)滿足：三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，且，求四邊形的面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， .

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時，對任意的，存在，使得成立，試確定實數(shù)m的取值范圍.

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